class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Poisson lognormal models for count data ] .subtitle[ ## Variational inference, Optimization ] .author[ ### J. Chiquet, M. Mariadassou, S. Robin
+ B. Batardière, J. Kwon, J. Stoehr
MIA Paris-Saclay, AgroParisTech, INRAE
Last update 13 November, 2022
] .date[ ###
https://pln-team.github.io/PLNmodels
] --- class: inverse, middle # Outline 1. .large[Multivariate Poisson lognormal models] <br/> 2. .large[Optimization with Variational inference] <br/> 3. .large[Properties of the Variational estimators] <br/> 4. .large[Direct Optimization with Important Sampling] <br/> 5. .large[Zero-Inflated PLN] --- class: inverse, center, middle # Multivariate Poisson lognormal models <br/> .small[Motivations, Framework] <!-- STATISTICAL MODEL --> <!-- --- --> <!-- # Generic form of data sets --> <!-- Routinely gathered in ecology/microbiology/genomics --> <!-- ### Data tables --> <!-- - .important[Abundances]: read counts of species/transcripts `\(j\)` in sample `\(i\)` --> <!-- - .important[Covariates]: value of environmental variable `\(k\)` in sample `\(i\)` --> <!-- - .important[Offsets]: sampling effort for species/transcripts `\(j\)` in sample `\(i\)` --> <!-- ### Need frameworks to model _dependencies between counts_ --> <!-- - understand **environmental effects** <br/> --> <!-- `\(\rightsquigarrow\)` explanatory models (multivariate regression, classification) --> <!-- - exhibit **patterns of diversity** <br/> --> <!-- `\(\rightsquigarrow\)` summarize the information (clustering, dimension reduction) --> <!-- - understand **between-species interactions** <br /> --> <!-- `\(\rightsquigarrow\)` 'network' inference (variable/covariance selection) --> <!-- - correct for technical and **confounding effects** <br/> --> <!-- `\(\rightsquigarrow\)` account for covariables and sampling effort --> --- # Models for multivariate count data ### If we were in a Gaussian world... The .important[general linear model] [MKB79] would be appropriate! For each sample `\(i = 1,\dots,n\)`, `$$\underbrace{\mathbf{Y}_i}_{\text{abundances}} = \underbrace{\mathbf{x}_i^\top \mathbf{B}}_{\text{covariates}} + \underbrace{\mathbf{o}_i}_{\text{sampling effort}} + \boldsymbol\varepsilon_i, \quad \boldsymbol\varepsilon_i \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}_p, \underbrace{\boldsymbol\Sigma}_{\text{between-species dependencies}})$$` null covariance `\(\Leftrightarrow\)` independence `\(\rightsquigarrow\)` uncorrelated species/transcripts do not interact .content-box-red[This model gives birth to Principal Component Analysis, Discriminant Analysis, Gaussian Graphical Models, Gaussian Mixture models and many others `\(\dots\)`] ### With count data... There is no generic model for multivariate counts - Data transformation (log, `\(\sqrt{}\)`) : quick and dirty - Non-Gaussian multivariate distributions [Ino+17]: do not scale to data dimension yet - .important[Latent variable models]: interaction occur in a latent (unobserved) layer --- # The Poisson Lognormal model (PLN) The PLN model [AH89] is a .important[multivariate generalized linear model], where - the counts `\(\mathbf{Y}_i\)` are the response variables - the main effect is due to a linear combination of the covariates `\(\mathbf{x}_i\)` - a vector of offsets `\(\mathbf{o}_i\)` can be specified for each sample. .content-box-red[ $$ \mathbf{Y}_i | \mathbf{Z}_i \sim \mathcal{P}\left(\exp\{\mathbf{Z}_i\}\right), \qquad \mathbf{Z}_i \sim \mathcal{N}({\mathbf{o}_i + \mathbf{x}_i^\top\mathbf{B}},\boldsymbol\Sigma), \\ $$ ] .pull-left[The unkwown parameters are - `\(\mathbf{B}\)`, the regression parameters - `\(\boldsymbol\Sigma\)`, the variance-covariance matrix ] .pull-right[ Stacking all individuals together, - `\(\mathbf{Y}\)` is the `\(n\times p\)` matrix of counts - `\(\mathbf{X}\)` is the `\(n\times d\)` matrix of design - `\(\mathbf{O}\)` is the `\(n\times p\)` matrix of offsets ] ### Properties: .small[.important[over-dispersion, arbitrary-signed covariances]] - mean: `\(\mathbb{E}(Y_{ij}) = \exp \left( o_{ij} + \mathbf{x}_i^\top {\mathbf{B}}_{\cdot j} + \sigma_{jj}/2\right) > 0\)` - variance: `\(\mathbb{V}(Y_{ij}) = \mathbb{E}(Y_{ij}) + \mathbb{E}(Y_{ij})^2 \left( e^{\sigma_{jj}} - 1 \right) > \mathbb{E}(Y_{ij})\)` - covariance: `\(\mathrm{Cov}(Y_{ij}, Y_{ik}) = \mathbb{E}(Y_{ij}) \mathbb{E}(Y_{ik}) \left( e^{\sigma_{jk}} - 1 \right).\)` --- # Natural extensions ### Various tasks of multivariate analysis - .important[Dimension Reduction]: rank constraint matrix `\(\boldsymbol\Sigma\)`. `$$\mathbf{Z}_i \sim \mathcal{N}(\boldsymbol\mu, \boldsymbol\Sigma = \mathbf{C}\mathbf{C}^\top), \quad \mathbf{C} \in \mathcal{M}_{pk} \text{ with orthogonal columns}.$$` - .important[Classification]: maximize separation between groups with means `$$\mathbf{Z}_i \sim \mathcal{N}({\boldsymbol\mu}_k \mathbf{1}_{\{i\in k\}}, \boldsymbol\Sigma), \quad \text{for known memberships}.$$` - .important[Clustering]: mixture model in the latent space `$$\mathbf{Z}_i \mid i \in k \sim \mathcal{N}(\boldsymbol\mu_k, \boldsymbol\Sigma_k), \quad \text{for unknown memberships}.$$` - .important[Network inference]: sparsity constraint on inverse covariance. `$$\mathbf{Z}_i \sim \mathcal{N}(\boldsymbol\mu, \boldsymbol\Sigma = \boldsymbol\Omega^{-1}), \quad \|\boldsymbol\Omega \|_1 < c.$$` - .important[Variable selection]: sparsity constraint on regression coefficients `$$\mathbf{Z}_i \sim \mathcal{N}(\mathbf{x}_i^\top\mathbf{B}, \boldsymbol\Sigma), \quad \|\mathbf{B} \|_1 < c.$$` --- # Availability ### Help and documentation - PLNmodels website <https://pln-team.github.io/PLNmodels> - github group <https://github.com/pln-team> ### R/C++ Package PLNmodels Last stable release on CRAN, development version available on GitHub). ```r install.packages("PLNmodels") remotes::install_github("PLN-team/PLNmodels@dev") ``` ```r library(PLNmodels) packageVersion("PLNmodels") ``` ``` ## [1] '0.11.7.9500' ``` ### Python module A Python + PyTorch implementation is coming <!-- ILLUSTRATION --> --- # Illustration on ecological environmental DNA ### Oaks powdery mildew data set Jakuschkin, Fievet, Schwaller et al. [Jak+16] Study .important[effects of the pathogen] _E.Aphiltoïdes_ (mildew) wrt bacterial and microbial communities ### Species Abundances - .important[Microbial communities] sampled on the surface of `\(n = 116\)` oak leaves - Communities sequenced and cleaned resulting in `\(p=114\)` OTUs (66 bacteria, 48 fungi). ### Covariates and offsets Characterize the samples and the sampling, most important being - `tree`: Tree status with respect to the pathogen (susceptible, intermediate or resistant) - `distTOground`: Distance of the sampled leaf to the base of the ground - `orientation`: Orientation of the branch (South-West SW or North-East NE) - `readsTOTfun`: Total number of ITS1 reads for that leaf - `readsTOTbac`: Total number of 16S reads for that leaf --- # Abundance table (I) ```r data(oaks) oaks$Abundance %>% as_tibble() %>% dplyr::select(1:10) %>% rmarkdown::paged_table() ``` <div data-pagedtable="false"> <script data-pagedtable-source type="application/json"> {"columns":[{"label":["b_OTU_1045"],"name":[1],"type":["int"],"align":["right"]},{"label":["b_OTU_109"],"name":[2],"type":["int"],"align":["right"]},{"label":["b_OTU_1093"],"name":[3],"type":["int"],"align":["right"]},{"label":["b_OTU_11"],"name":[4],"type":["int"],"align":["right"]},{"label":["b_OTU_112"],"name":[5],"type":["int"],"align":["right"]},{"label":["b_OTU_1191"],"name":[6],"type":["int"],"align":["right"]},{"label":["b_OTU_1200"],"name":[7],"type":["int"],"align":["right"]},{"label":["b_OTU_123"],"name":[8],"type":["int"],"align":["right"]},{"label":["b_OTU_13"],"name":[9],"type":["int"],"align":["right"]},{"label":["b_OTU_1431"],"name":[10],"type":["int"],"align":["right"]}],"data":[{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"6","5":"146","6":"1","7":"6","8":"6","9":"68","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"0","5":"0","6":"1","7":"0","8":"0","9":"4","10":"1"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"2","5":"0","6":"0","7":"0","8":"0","9":"128","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"1","5":"1","6":"1","7":"0","8":"4","9":"121","10":"1"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"4","5":"1","6":"1","7":"1","8":"0","9":"113","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"77","5":"2","6":"20","7":"0","8":"20","9":"90","10":"57"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"21","5":"2","6":"3","7":"0","8":"11","9":"316","10":"15"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"27","5":"4","6":"3","7":"0","8":"8","9":"424","10":"115"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"7","5":"42","6":"0","7":"7","8":"2","9":"312","10":"6"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"7","5":"2","6":"0","7":"0","8":"4","9":"72","10":"4"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"2","5":"11","6":"0","7":"0","8":"0","9":"12","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"4","5":"2","6":"0","7":"0","8":"2","9":"3","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"0","5":"3","6":"0","7":"3","8":"0","9":"4","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"29","5":"0","6":"3","7":"0","8":"3","9":"50","10":"1"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"3","5":"0","6":"0","7":"1","8":"1","9":"6","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"99","5":"1","6":"2","7":"0","8":"0","9":"15","10":"1"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"41","5":"0","6":"6","7":"0","8":"2","9":"37","10":"2"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"6","5":"0","6":"3","7":"0","8":"0","9":"5","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"1","5":"0","6":"0","7":"0","8":"0","9":"14","10":"1"},{"1":"2","2":"1","3":"0","4":"13","5":"0","6":"3","7":"0","8":"0","9":"11","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"15","5":"5","6":"9","7":"0","8":"0","9":"103","10":"1"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"10","5":"0","6":"0","7":"2","8":"5","9":"7","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"17","5":"1","6":"7","7":"2","8":"3","9":"3","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"3","4":"11","5":"0","6":"6","7":"195","8":"4","9":"16","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"25","5":"0","6":"4","7":"0","8":"3","9":"28","10":"1"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"50","5":"0","6":"2","7":"1","8":"5","9":"58","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"4","5":"2","6":"0","7":"0","8":"0","9":"7","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"9","5":"2","6":"1","7":"1","8":"0","9":"15","10":"1"},{"1":"1","2":"1","3":"0","4":"249","5":"6","6":"88","7":"0","8":"2","9":"221","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"6","5":"1","6":"1","7":"0","8":"2","9":"5","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"11","5":"0","6":"0","7":"0","8":"0","9":"16","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"9","5":"1","6":"2","7":"0","8":"0","9":"9","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"6","5":"4","6":"0","7":"0","8":"0","9":"7","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"8","5":"0","6":"1","7":"0","8":"0","9":"26","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"15","5":"0","6":"0","7":"0","8":"0","9":"49","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"7","5":"0","6":"1","7":"0","8":"0","9":"5","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"13","5":"1","6":"3","7":"0","8":"3","9":"2","10":"1"},{"1":"1","2":"0","3":"0","4":"15","5":"0","6":"1","7":"2","8":"0","9":"24","10":"0"},{"1":"18","2":"0","3":"2","4":"44","5":"0","6":"5","7":"1","8":"2","9":"10","10":"1"},{"1":"42","2":"1","3":"0","4":"258","5":"0","6":"26","7":"0","8":"4","9":"26","10":"31"},{"1":"54","2":"0","3":"2","4":"451","5":"0","6":"26","7":"0","8":"24","9":"310","10":"18"},{"1":"35","2":"1","3":"2","4":"176","5":"0","6":"49","7":"0","8":"8","9":"47","10":"0"},{"1":"2","2":"0","3":"0","4":"12","5":"0","6":"0","7":"0","8":"0","9":"5","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"14","5":"0","6":"2","7":"0","8":"1","9":"8","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"26","5":"0","6":"0","7":"0","8":"2","9":"8","10":"0"},{"1":"21","2":"93","3":"5","4":"219","5":"2","6":"27","7":"0","8":"6","9":"30","10":"0"},{"1":"1","2":"1","3":"0","4":"11","5":"1","6":"0","7":"0","8":"2","9":"23","10":"0"},{"1":"170","2":"178","3":"0","4":"1267","5":"1","6":"70","7":"0","8":"44","9":"10","10":"18"},{"1":"7","2":"4","3":"0","4":"203","5":"0","6":"11","7":"0","8":"1","9":"15","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"5","5":"0","6":"0","7":"0","8":"0","9":"6","10":"0"},{"1":"0","2":"0","3":"0","4":"8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</script> </div> --- # Abundance table (II) ```r log(1 + oaks$Abundance) %>% corrplot::corrplot(is.corr = FALSE, addgrid.col = NA, tl.cex = .5, cl.pos = "n") ``` <!-- --> --- # PLN with offsets and covariates (1) ## Offset: .small[modeling sampling effort] The predefined offset uses the total sum of reads, accounting for technologies specific to fungi and bacteria: ```r M01_oaks <- PLN(Abundance ~ 1 + offset(log(Offset)) , oaks) ``` ## Covariates: .small[tree and orientation effects ('ANOVA'-like) ] The `tree` status is a natural candidate for explaining a part of the variance. - We chose to describe the tree effect in the regression coefficient (mean) - A possibly spurious effect regarding the interactions between species (covariance). ```r M11_oaks <- PLN(Abundance ~ 0 + tree + offset(log(Offset)), oaks) ``` What about adding more covariates in the model, e.g. the orientation? ```r M21_oaks <- PLN(Abundance ~ 0 + tree + orientation + offset(log(Offset)), oaks) ``` --- # PLN with offsets and covariates (2) There is a clear gain in introducing the tree covariate in the model: ```r rbind(M01 = M01_oaks$criteria, M11 = M11_oaks$criteria, M21 = M21_oaks$criteria) %>% knitr::kable(format = "html") ``` <table> <thead> <tr> <th style="text-align:left;"> </th> <th style="text-align:right;"> nb_param </th> <th style="text-align:right;"> loglik </th> <th style="text-align:right;"> BIC </th> <th style="text-align:right;"> ICL </th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td style="text-align:left;"> M01 </td> <td style="text-align:right;"> 6669 </td> <td style="text-align:right;"> -32276.98 </td> <td style="text-align:right;"> -48127.83 </td> <td style="text-align:right;"> -52148.35 </td> </tr> <tr> <td style="text-align:left;"> M11 </td> <td style="text-align:right;"> 6897 </td> <td style="text-align:right;"> -31510.75 </td> <td style="text-align:right;"> -47903.50 </td> <td style="text-align:right;"> -51631.08 </td> </tr> <tr> <td style="text-align:left;"> M21 </td> <td style="text-align:right;"> 7011 </td> <td style="text-align:right;"> -31422.85 </td> <td style="text-align:right;"> -48086.56 </td> <td style="text-align:right;"> -51703.18 </td> </tr> </tbody> </table> Looking at the coefficients `\(\mathbf{B}\)` associated with `tree` bring additional insights: <!-- --> --- # Discriminant Analysis Use the `tree` variable for grouping (`grouping` is a factor of group to be considered) ```r myLDA_tree <- PLNLDA(Abundance ~ 1 + offset(log(Offset)), grouping = oaks$tree, data = oaks) ``` .pull-left[ <!-- --> ] .pull-right[ <!-- --> ] --- # A PCA analysis of the oaks data set ```r PCA_offset <- PLNPCA(Abundance ~ 1 + offset(log(Offset)), data = oaks, ranks = 1:30) ``` <small> <img src="data:image/png;base64,#slides_files/figure-html/PCA offset vizu tree-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> </small> --- # PCA: removing covariate effects To hopefully find some hidden effects in the data, we can try to remove confounding ones: ```r PCA_tree <- PLNPCA(Abundance ~ 0 + tree + offset(log(Offset)), data = oaks, ranks = 1:30) ``` <img src="data:image/png;base64,#slides_files/figure-html/PCA covariate tree plot-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Clustering of the oaks samples ```r PLN_mixtures <- PLNmixture(Abundance ~ 1 + offset(log(Offset)), data = oaks, clusters = 1:3) myPLN_mix <- getModel(PLN_mixtures, 3) ``` .pull-left[ ```r myPLN_mix$plot_clustering_pca() ``` <!-- --> ] .pull-right[ ```r myPLN_mix$plot_clustering_data() ``` <!-- --> ] --- # Network inference ```r networks <- PLNnetwork(Abundance ~ 0 + tree + offset(log(Offset)), data = oaks) ``` .pull-left[ <img src="data:image/png;base64,#slides_files/figure-html/PLNnetwork criteria-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> ] .pull-right[ <img src="data:image/png;base64,#slides_files/figure-html/PLNnetwork network-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> ] --- class: inverse, center, middle # Variational inference for standard PLN<br/> .small[Optimisation] <!-- VARIATIONAL INFERENCE --> --- # Inference: general ingredients Estimate `\(\theta = (\mathbf{B}, \boldsymbol\Sigma)\)`, predict the `\(\mathbf{Z}_i\)`, while the model marginal likelihood is `$$p_\theta(\mathbf{Y}_i) = \int_{\mathbb{R}_p} \prod_{j=1}^p p_\theta(Y_{ij} | Z_{ij}) \, p_\theta(\mathbf{Z}_i) \mathrm{d}\mathbf{Z}_i$$` ### Expectation-Maximization With `\(\mathcal{H}(p) = -\mathbb{E}_p(\log(p))\)` the entropy of `\(p\)`, `$$\log p_\theta(\mathbf{Y}) = \mathbb{E}_{p_\theta(\mathbf{Z}\,|\,\mathbf{Y})} [\log p_\theta(\mathbf{Y}, \mathbf{Z})] + \mathcal{H}[p_\theta(\mathbf{Z}\,|\,\mathbf{Y})]$$` EM requires to evaluate (some moments of) `\(p_\theta(\mathbf{Z} \,|\, \mathbf{Y})\)`, but there is no close form! ### Variational approximation [WJ08] Use a proxy `\(q_\psi\)` of `\(p_\theta(\mathbf{Z}\,|\,\mathbf{Y})\)` minimizing a divergence in a class `\(\mathcal{Q}\)` .small[(e.g, Küllback-Leibler divergence)] `$$q_\psi(\mathbf{Z})^\star \arg\min_{q\in\mathcal{Q}} D\left(q(\mathbf{Z}), p(\mathbf{Z} | \mathbf{Y})\right), \, \text{e.g.}, D(.,.) = KL(., .) = \mathbb{E}_{q_\psi}\left[\log \frac{q(z)}{p(z)}\right].$$` --- # Inference: specific ingredients Consider `\(\mathcal{Q}\)` the class of diagonal multivariate Gaussian distributions: `$$\Big\{q: \, q(\mathbf{Z}) = \prod_i q_i(\mathbf{Z}_i), \, q_i(\mathbf{Z}_i) = \mathcal{N}\left(\mathbf{Z}_i; \mathbf{m}_i, \mathrm{diag}(\mathbf{s}_i \circ \mathbf{s}_i)\right), \boldsymbol\psi_i = (\mathbf{m}_i, \mathbf{s}_i) \in\mathbb{R}_p\times\mathbb{R}_p \Big\}$$` and maximize the ELBO (Evidence Lower BOund) `$$\begin{aligned}J(\theta, \psi) & = \log p_\theta(\mathbf{Y}) - KL[q_\psi (\mathbf{Z}) || p_\theta(\mathbf{Z} | \mathbf{Y})] \\ & = \mathbb{E}_{\psi} [\log p_\theta(\mathbf{Y}, \mathbf{Z})] + \mathcal{H}[q_\psi(\mathbf{Z})] \\ & = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n J_i(\theta, \psi_i),\end{aligned}$$` where, letting `\(\mathbf{A}_i = \mathbb{E}_{q_i}[\exp(Z_i)] = \exp\left( \mathbf{o}_i + \mathbf{m}_i + \frac{1}{2}\mathbf{s}^2_i\right)\)`, we have `$$\begin{aligned} J_i(\theta, \psi_i) = &\mathbf{Y}_i^\intercal(\mathbf{o}_i + \mathbf{m}_i) - \left(\mathbf{A}_i - \frac{1}{2}\log(\mathbf{s}^2_i)\right) ^\intercal \mathbf{1}_p + \frac{1}{2} |\log|{\boldsymbol\Omega}| \\ & - \frac{1}{2}(\mathbf{m}_i - \boldsymbol{\Theta}\mathbf{x}_i)^\intercal \boldsymbol{\Omega} (\mathbf{m}_i - \boldsymbol{\Theta}\mathbf{x}_i) - \frac{1}{2} \mathrm{diag}(\boldsymbol\Omega)^\intercal\mathbf{s}^2_i + \mathrm{cst} \end{aligned}$$` --- # Resulting Variational EM .important[Alternate] until convergence between - VE step: optimize `\(\boldsymbol{\psi}\)` (can be written individually) `$$\psi_i^{(h)} = \arg \max J_{i}(\theta^{(h)}, \psi_i) \left( = \arg\min_{q_i} KL[q_i(\mathbf{Z}_i) \,||\, p_{\theta^h}(\mathbf{Z}_i\,|\,\mathbf{Y}_i)] \right)$$` - M step: optimize `\(\theta\)` `$$\theta^{(h)} = \arg\max \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}J_{Y_i}(\theta, \psi_i^{(h)})$$` We end up with a `\(M\)`-estimator: $$ `\begin{equation} \hat{\theta}^{\text{ve}} = \arg\max_{\theta} \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \sup_{\psi_i} J_i(\theta, \psi_i) \right) = \arg\max_{\theta} \underbrace{\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \bar{J}_i(\theta) \right)}_{\bar{J}_n(\theta)} \end{equation}` $$ where `\(\bar{J}_i(\theta) = \sup_{\psi_i} J_i(\theta,\psi_i)\)` is the *profiled* objective function. --- # Optimization of simple PLN models ### Property of the objective function The ELBO `\(J(\theta, \psi)\)` is bi-concave, i.e. - concave wrt `\(\psi = (\mathbf{M}, \mathbf{S})\)` for given `\(\theta\)` - convace wrt `\(\theta = (\boldsymbol\Sigma, \mathbf{B})\)` for given `\(\psi\)` but .important[not jointly concave] in general. ### M-step: analytical `$$\hat{{\mathbf{B}}} = \left(\mathbf{X}^\top \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X} \mathbf{M}, \quad \hat{{\boldsymbol\Sigma}} = \frac{1}{n} \left(\mathbf{M}-\mathbf{X}\hat{{\mathbf{B}}}\right)^\top \left(\mathbf{M}-\mathbf{X}\hat{\mathbf{B}}\right) + \frac{1}{n} \mathrm{diag}(\mathbf{1}^\intercal\mathbf{S}^2)$$` ### VE-step: gradient ascent `$$\frac{\partial J(\psi)}{\partial \mathbf{M}} = \left(\mathbf{Y} - \mathbf{A} - (\mathbf{M} - \mathbf{X}{\mathbf{B}}) \mathbf{\Omega}\right), \qquad \frac{\partial J(\psi)}{\partial \mathbf{S}} = \frac{1}{\mathbf{S}} - \mathbf{S} \circ \mathbf{A} - \mathbf{S} \mathrm{D}_{\boldsymbol\Omega} .$$` `\(\rightsquigarrow\)` Same routine for other PLN variants. --- # Implementations #### Medium scale problems - **algorithm**: conservative convex separable approximations [Sva02] - **implementation**: `NLopt` nonlinear-optimization library [Joh11] <br/> `\(\rightsquigarrow\)` Up to thousands of sites ( `\(n \approx 1000s\)` ), hundreds of species ( `\(p\approx 100s\)` ) #### Large scale problems - **algorithm**: Rprop (gradient sign + adaptive variable-specific update) [RB93] - **implementation**: `torch` with GPU auto-differentiation [FL22; Pas+17] <br/> `\(\rightsquigarrow\)` Up to `\(n \approx 100,000\)` and `\(p\approx 10,000s\)` <div class="figure" style="text-align: center"> <img src="data:image/png;base64,#figs/final_n=10000,p=2000.png" alt="n = 10,000, p = 2,000, d = 2 (running time: 1 min 40s)" width="30%" /> <p class="caption">n = 10,000, p = 2,000, d = 2 (running time: 1 min 40s)</p> </div> --- class: inverse, center, middle # Variational estimators of standard PLN<br/> .small[Properties] <br/> <!-- PROPERTIES OF THE VARIATIONAL ESTIMATORS--> --- # Estimator Bias and consistency ### M-estimation framework [Van00] Let `\(\hat{\psi}_i = \hat{\psi}_i(\theta, \mathbf{Y}_i) = \arg \max_{\psi} J_i(\theta, \psi)\)` and consider the stochastic map `\(\bar{J}_n\)` defined by `$$\bar{J}_n \; : \quad \theta \mapsto \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} J_i(\theta, \hat{\psi}_i) \stackrel{\Delta}{=} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \bar{J}_i(\theta)$$` M-estimation suggests that `\(\hat{\theta}^{\text{ve}} = \arg\max_{\theta} \bar{J}_{n}(\theta)\)` should converge to `\(\bar{\theta} = \arg\max_{\theta} \bar{J}(\theta)\)` where `\(\bar{J}(\theta) = \mathbb{E}_{\theta^\star}[\bar{J}_Y(\theta)] = \mathbb{E}_{\theta^\star}[J_Y(\theta, \hat{\psi}(\theta, Y))]\)`. -- ### Theorem [WM15] In this line, Westling and McCormick [WM15] show that under regularity conditions ensuring that `\(\bar{J}_n\)` is smooth enough (e.g. when `\(\theta\)` and `\(\psi_i\)` are restricted to compact sets), $$ \hat{\theta}^{\text{ve}} \xrightarrow[n \to +\infty]{a.e.} \bar{\theta} $$ .important[Open question:] `\(\bar{\theta} = \theta^\star\)` ? No formal results as `\(\bar{J}\)` is untractable but numerical evidence suggests so. --- # Numerical study ## Study Bias of the estimator of `\(\hat{\boldsymbol B}\)` - number of variables `\(p = 50\)` - number of covariates `\(d \in \{2, 4\}\)` - number of samples `\(n \in \{30, 250, 500, 1000 \}\)` - sampling effort (TSS) `\(\approx 10^4\)` - `\(\boldsymbol\Sigma\)` as `\(\sigma_{jk} = \sigma^2 \rho^{|j-k|}\)`, with `\(\rho = 0.2\)` - `\(\mathbf{B}\)` with entries sampled from `\(\mathcal{N}(0,1/d)\)` - noise level `\(\sigma^2 \in \{0.25, 1, 4\}\)` - 100 replicates --- # Bias of `\(\hat{\boldsymbol B}\)` <div class="figure" style="text-align: center"> <img src="data:image/png;base64,#figs/PLN_bias.png" alt="Bias vanishes with `\(n\)`" width="85%" /> <p class="caption">Bias vanishes with `\(n\)`</p> </div> `\(\rightsquigarrow\)` .important[asymptotically unbiased] --- # Root mean square error of `\(\hat{\boldsymbol B}\)` <div class="figure" style="text-align: center"> <img src="data:image/png;base64,#figs/PLN_rmse.png" alt="RMSE vanishes with `\(n\)`" width="85%" /> <p class="caption">RMSE vanishes with `\(n\)`</p> </div> --- # Contribution of bias in RMSE of `\(\hat{\mathbf{B}}\)` <div class="figure" style="text-align: center"> <img src="data:image/png;base64,#figs/PLN_empirical_bias_vs_rmse.png" alt="Bias contribute in large part of the MSE" width="85%" /> <p class="caption">Bias contribute in large part of the MSE</p> </div> --- # Estimator Variance ## Motivation: Wald test Test `\(\mathcal{H}_0: R \theta = r_0\)` with the statistic $$ (R \hat{\theta} - r_0)^\top \left[n R\hat{\mathbb{V}}(\hat{\theta}) R^\top \right]^{-1} (R \hat{\theta} - r_0) \sim \chi_k^2 \quad \text{where} \quad k = \text{rank}(R).$$ If `\(\hat{\theta}\)` is the MLE, then the Fisher Information matrix `$$I(\theta) = - \mathbb{E}_\theta \left[ \frac{\partial^2 \log \ell(\theta; x)}{\partial \theta^2} \right]$$` can be used to build an approximation of `\(n\mathbb{V}(\hat{\theta})^{-1}\)`. ## Application Derive confidence intervals for the inverse covariance `\(\mathbf{\Omega}\)` and the regression parameters `\(\mathbf{B}\)`. --- # Variance: naïve approach Do as if `\(\hat{\theta}^{\text{ve}}\)` was a MLE and `\(\bar{J}_n\)` the log-likelihood. ### Variational Fisher Information The Fisher information matrix is given by (from the Hessian of `\(J\)`) by `$$I_n(\hat{\theta}^{\text{ve}}) = \begin{pmatrix} \frac{1}{n}(\mathbf{I}_p \otimes \mathbf{X}^\top)\mathrm{diag}(\mathrm{vec}(\mathbf{A}))(\mathbf{I}_p \otimes \mathbf{X}) & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \frac12\mathbf{\Omega}^{-1} \otimes \mathbf{\Omega}^{-1} \end{pmatrix}$$` and can be inverted blockwise to estimate `\(\mathbb{V}(\hat{\theta})\)`. -- ### Wald test and coverage `\(\hat{\mathbb{V}}(B_{kj}) = [n (\mathbf{X}^\top \mathrm{diag}(\mathrm{vec}(\hat{A}_{.j})) \mathbf{X})^{-1}]_{kk}, \qquad \hat{\mathbb{V}}(\Omega_{kl}) = 2\hat{\Omega}_{kk}\hat{\Omega}_{ll}\)` The confidence intervals at level `\(\alpha\)` are given by `\(B_{kj} = \hat{B}_{kj} \pm \frac{q_{1 - \alpha/2}}{\sqrt{n}} \sqrt{\hat{\mathbb{V}}(B_{kj})}, \qquad \Omega_{kl} = \hat{\Omega}_{kl} \pm \frac{q_{1 - \alpha/2}}{\sqrt{n}} \sqrt{\hat{\mathbb{V}}(\Omega_{kl})}\)`. --- # Contribution of variance in RMSE of `\(\hat{\mathbf{B}}\)` <div class="figure" style="text-align: center"> <img src="data:image/png;base64,#figs/PLN_empirical_variance_vs_rmse.png" alt="Weak contribution of Variance to MSE" width="85%" /> <p class="caption">Weak contribution of Variance to MSE</p> </div> --- # Variance: empirical vs variational <div class="figure" style="text-align: center"> <img src="data:image/png;base64,#figs/PLN_se_empirical_wald.png" alt="Variance underestimated..." width="85%" /> <p class="caption">Variance underestimated...</p> </div> --- # 95% confident interval - coverage <div class="figure" style="text-align: center"> <img src="data:image/png;base64,#figs/PLN_coverage_wald.png" alt="No trusted confidence intervals can be derived out-of-the box" width="85%" /> <p class="caption">No trusted confidence intervals can be derived out-of-the box</p> </div> --- # Variance : sandwich estimator (I) Pursuing on the M-estimation theory of Van der Vaart [Van00], Westling and McCormick [WM15] prove asymptotic normality of variational estimators and discuss the .important[sandwich] estimator of the variance. ### Theorem [WM15] Under additional regularity conditions (still satisfied for example when `\(\theta\)` and `\(\psi_i\)` are restricted to compact sets), we have $$ \sqrt{n}(\hat{\theta}^{\text{ve}} - \bar{\theta}) \xrightarrow[]{d} \mathcal{N}(0, V(\bar{\theta})) $$ where `\(V(\theta) = C(\theta)^{-1} D(\theta) C(\theta)^{-1}\)` for $$ `\begin{aligned} C(\theta) = \mathbb{E}[\nabla_{\theta\theta} \bar{J}(\theta) ] \quad \mathrm{and} \quad D(\theta) = \mathbb{E}\left[(\nabla_{\theta} \bar{J}(\theta)) (\nabla_{\theta} \bar{J}(\theta)^\intercal \right] \end{aligned}` $$ --- # Variance : sandwich estimator (II) We need estimations of `\(\nabla_{\theta\theta} \bar{J}(\theta)\)` and `\(C\)` and `\(D\)` ### Practical computations .small[chain rule] $$ `\begin{aligned} \nabla_{\theta\theta} \bar{J}(\theta) = \left[\nabla_{\theta\theta} J - \nabla_{\theta \psi} J (\nabla_{\psi\psi} J)^{-1} \nabla_{\psi\theta} J\right] (\theta, \hat{\psi}) \text{ and } \nabla_{\theta} \bar{J}(\theta) = \nabla_{\theta} J(\theta, \hat{\psi}) \end{aligned}` $$ $$ `\begin{aligned} \hat{C}_n(\theta) & = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left[ \nabla_{\theta\theta} J_i - \nabla_{\theta\psi_i} J_i (\nabla_{\psi_i\psi_i} J_i)^{-1} \nabla_{\theta\psi_i} J_i^\intercal \right](\theta, \hat{\psi}_i) \\ \hat{D}_n(\theta) & = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left[ \nabla_{\theta} J_i \nabla_{\theta} J_i^\intercal \right](\theta, \hat{\psi}_i) \end{aligned}` $$ <br/> ### Caveat - For `\(\theta = (\mathbf{B}, \boldsymbol\Omega)\)`, `\(\hat{C}_n\)` requires the inversion of `\(n\)` matrices with `\((p^2+pd)\)` rows/columns... - Let us first consider the estimation of `\(\theta = \mathbf{B}\)` only, with .important[known variance] `\(\boldsymbol\Omega^{-1}\)` --- # Reasonably fancy formula Additional matrix algebra efforts and computational tricks give $$ `\begin{aligned} \hat{D}_n(\theta) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left[ (\mathbf{Y}_i - \mathbf{A}_i)(\mathbf{Y}_i - \mathbf{A}_i)^\intercal \right] \otimes \mathbf{x}_i \mathbf{x}_i^\intercal \in \mathbb{R}^{dp \times dp} \end{aligned}` $$ and $$ `\begin{aligned} \hat{C}_n(\theta) = - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( \boldsymbol\Sigma + \mathrm{diag}(\mathbf{A}_i)^{-1} + \frac12\mathrm{diag}(\mathbf{s}_i^4) \right) \otimes \mathbf{x}_i \mathbf{x}_i^\intercal \in \mathbb{R}^{dp \times dp} \end{aligned}` $$ `\(\rightsquigarrow\)` Practically not very useful since `\(\Sigma\)` is unknown #### Ongoing work Derive the formula with unknown `\(\boldsymbol\Sigma\)` - Plugin-in `\(\hat{\Sigma}\)` in the formula of `\(\hat{C}_n\)` leads .important[very] poor results - Need to account for cross-terms in `\(\nabla_{\theta \psi_i} J_i(\theta, \hat{\psi}_i)\)` between `\(\Omega\)` and `\(\psi_i\)`, and inverse with large matrices: limited practical interest - Idea: use Jackknife resampling to estimate the variance --- # 95% CI - sandwich coverage <div class="figure" style="text-align: center"> <img src="data:image/png;base64,#figs/PLN_coverage_sandwich_fixed_variance.png" alt="Coverage seems ok with fixed variance matrix" width="85%" /> <p class="caption">Coverage seems ok with fixed variance matrix</p> </div> --- class: inverse, center, middle # Direct optimization of the likelihood <br/> .small[Gradient estimation with importance sampling] --- # Consider the PLN-PCA variant Useful for high-dimensional, large problems. <br/> `$$\begin{aligned} \mathbf{Z}_i &= \mathbf{B}^\intercal x_i+ \mathbf{C} W_i, \qquad W_{i} \sim \mathcal{N}\left(0, I_{q}\right) \\[1.25ex] \mathbf{Y}_i \mid \mathbf{Z}_i & \sim \mathcal{P}\left(\exp \left( \mathbf{Z}_i\right)\right) \\ \end{aligned}$$` where `\(q\leq p\)` is the dimension of the latent space. The model parameters encompass <br/> - The matrix of regression parameters `\(\mathbf{B} = (\beta _{kj})_{1 \leq k \leq d, 1 \leq j \leq p}\)`, - The matrix `\(\mathbf{C} \in \mathbb R^{p\times q}\)` sending the latent variable `\(W_i\)` from `\(\mathbb{R}^q\)` to `\(\mathbb{R}^p\)`. If `\(p = q\)`, `\(\theta = (\mathbf{B}, \Sigma = \mathbf{C} \mathbf{C}^\intercal)\)`, .important[standard PLN] If `\(q < p\)`, `\(\theta = (\beta, C)\)`, .important[PLN-PCA] <br/> We regularize by .important[controling the number of parameters] (or size of the subspace) with `\(q\)` --- # Performance of V-EM for PLN-PCA <div class="figure" style="text-align: center"> <img src="data:image/png;base64,#figs/Comparison_fastPLN_vs_fastPLNPCA_n=1000.png" alt="Running times for `\(n=1000, q=10, d=1\)`." width="60%" /> <p class="caption">Running times for `\(n=1000, q=10, d=1\)`.</p> </div> - **PLN**: convergence in a small number of iterations but with `\(\mathcal{O}(n p + p^2)\)` parameters to optimize + inversion of `\(\hat{\Sigma} (p\times p)\)` - **PLN-PCA**: convergence for a large number of iterations, with `\(\mathcal{O}(n p + p q)\)` parameters to optimize + inversion of `\(\hat{\Sigma} (q\times q)\)` --- # Direct optimization We already have an efficient V-EM, but without guarantees "out-of-the box". <br/> ### .content-box-red[.small[Direct optimization by approximating the gradient of the objective]] .content-box-yellow[ `$$\begin{aligned} \nabla_{\theta} \sum _{i =1}^n \log p_{\theta}(Y_i) & = \sum _{i =1}^n \nabla_{\theta} \log \left( \int_{R^q} p_{\theta} (Y_i|W_i) p(W_i)\mathrm{d} W_i \right) \\ & = \sum _{i =1} ^n \nabla_{\theta} \log \mathbb{E}_W (p_\theta(Y_i|W_i)) \\ \end{aligned}$$` ] <br/> ### Algorithm principle - Ingredient 1: fancy SG ascent with variance reduction (e.g. Adagrad + SAGA) - Ingredient 2: Monte-Carlo/Importance sampling to estimate the gradient --- # Monte-Carlo estimation of the gradient ### Gradient derivation .small[(First Louis Formula)] `$$\begin{aligned} \nabla_{\theta} \log \mathbb{E}_{W}\left[ p_{\theta} (Y_i|W) \right] & = \frac {\nabla_{\theta} \mathbb{E}_{W}\left[ p_{\theta} (Y_i|W) \right]}{\mathbb{E}_{W}\left[ p_{\theta} (Y_i|W) \right]} = \frac {\mathbb{E}_{W}\left[ \nabla_{\theta} p_{\theta} (Y_i|W) \right]}{\mathbb{E}_{W}\left[ p_{\theta} (Y_i|W) \right]} \\ & = \frac {\mathbb{E}_{W}\left[ p_{\theta} (Y_i|W) \nabla_{\theta} \log(p_{\theta} (Y_i|W)) \right]}{\mathbb{E}_{W}\left[ p_{\theta} (Y_i|W) \right]} = \frac{\bar N}{\bar D} \\ \end{aligned}$$` -- ### Approximation via Importance Sampling Our estimator of the numerator and the denominator are respectively, drawing `\(V_k \sim \phi(.)\)`, `$$\bar N = \frac 1 {n_s} \sum_{k=1}^{n_s} \frac {p(V_k)}{\phi(V_k)} p_\theta(Y_i|V_k) \nabla_{\theta}\log p_\theta(Y_i| V_k), \bar D = \frac 1 {n_s} \sum_{k=1}^{n_s} \frac {p(V_k)}{\phi(V_k)} p_\theta(Y_i| V_k),$$` and the ratio can be seen as a self normalizing weighted IS approach: `$$\bar N/\bar D = \frac 1 {n_s} \sum_k^{n_s} \tilde{w}_k \nabla_{\theta}\log p_\theta(Y_i| V_k), \quad w_k = \frac {p(V_k)p_\theta(Y_i|V_k)}{\phi(V_k)}, \quad \tilde{w}_k = w_k/\sum_k w_k$$` --- # How to choose the proposition law `\(\phi\)` Choose `\(\phi\)` as close as possible as `\(p_\theta (Y|W)p(W) \varpropto p_\theta(W | Y)\)`, Since `\(p(W)\)` is Gaussian, we choose `\(\phi\)` Gaussian with - mean `\(m = \mathbb{E}_W\left[W |Y \right]\)`, estimated using IS with weights recycled from the previous iterations. - covariance `\(\Sigma\)`, estimated from the 2nd derivative taken in `\(m\)` (explicit) `$$\Omega^{-1} = - \nabla_{WW} \log p_{\theta}(Y_i| W) p(W) \bigg|_{W = m}$$` ### Expected theoretical guarantees - Gaussian proposition law does not give bounded weights and finite variance in theory - Student proposition law does, leading to theoretical guarantees on the estimator - In practice, Gaussian or Student proposition law gives the same effective sample size. `\(\rightsquigarrow\)` CI intervals seems to work OK --- # Performance of Importance Sampling (1) Varying `\(p\)` <div class="figure" style="text-align: center"> <img src="data:image/png;base64,#figs/Convergence_analysis_IMPS_PLN_n=300,q=10,250_iterations.png" alt="Running times for `\(n=300, q=10, d=1\)`, 250 iterations." width="80%" /> <p class="caption">Running times for `\(n=300, q=10, d=1\)`, 250 iterations.</p> </div> --- # Performance of Importance Sampling (2) Varying `\(q\)` <div class="figure" style="text-align: center"> <img src="data:image/png;base64,#figs/Convergence_analysis_IMPS_PLN_n=300,p=2000,250_iterations.png" alt="Running times for `\(n=300, p=2000, d=1\)`, 250 iterations." width="80%" /> <p class="caption">Running times for `\(n=300, p=2000, d=1\)`, 250 iterations.</p> </div> --- # V-EM vs Importance Sampling <br/> Example with `\(n=p=1000\)`, `\(d=1, q=10\)`, Toeplitz (AR-like) covariance <br/> <img src="data:image/png;base64,#figs/ELBOvslikelihood.png" width="110%" style="display: block; margin: auto;" /> <br/> - orange: ELBO of the V-EM - red: log-likelihood found by IMPS at convergence - blue: log-likelihood computed with current V-EM estimates --- class: inverse, center, middle # Zero-inflated PLN <!-- ZI-PLN MODEL --> --- # A zero-inflated PLN ### Motivations - account for a large amount of zero, i.e. with single-cell data, - try to separate "true" zeros from "technical"/dropouts ### The Model Use two latent vectors `\(\mathbf{W}_i\)` and `\(\mathbf{Z}_i\)` to model excess of zeroes and dependence structure `$$\begin{aligned} \mathbf{Z}_i & \sim \mathcal{N}({\mathbf{o}_i + \mathbf{x}_i^\top\mathbf{B}},\boldsymbol\Sigma) \\ W_{ij} & \sim \mathcal{B}(\text{logit}^{-1}(\mathbf{x}_i^\top{\mathbf{B}}_j^0)) \\ Y_{ij} \, | \, W_{ij}, Z_{ij} & \sim W_{ij}\delta_0 + (1-W_{ij}) \mathcal{P}\left(\exp\{Z_{ij}\}\right), \\ \end{aligned}$$` The unkwown parameters are - `\(\mathbf{B}\)`, the regression parameters (from the PLN component) - `\(\mathbf{B}^0\)`, the regression parameters (from the Bernoulli component) - `\(\boldsymbol\Sigma\)`, the variance-covariance matrix `\(\rightsquigarrow\)` ZI-PLN is a mixture of PLN and Bernoulli distribution with shared covariates. --- # ZI-PLN identifiability Consider the standard ZIPLN model (*i.e.* not the ZIPLN-regression model) with 1 sample: `$$\begin{aligned} {(W_j)}_{j=1 \dots p} & \sim \mathcal{B}^{\otimes} ( \mathbf{\pi} ) = \mathcal{B}(\pi_1) \otimes \dots \mathcal{B}(\pi_p) \\ {(Z_j)}_{j=1 \dots p} & \sim \mathcal{N}_p(\mathbf{\mu}, \mathbf{\Sigma} ) \\ Y_j | W_j, Z_j & \sim (1-W_j) \mathcal{P}(e^{Z_j}) + W_j \delta_0 \\ \end{aligned}$$` ### Proposition The standard ZIPLN model defined above with parameter `\(\mathbf{\theta} = (\mathbf{\pi}, \mathbf{\mu}, \mathbf{\Sigma})\)` and parameter space `\((0,1)^{p} \times \mathbb{R}^p \times \mathbb{S}_p^{++}\)` is identifiable. **Proof**. We used the moments of `\(\mathbf{Y}\)` to prove identifiability and rely on the following results for Gaussian and Poisson distributions: - If `\(U \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)`, then `\(\mathbb{E}[e^U] = \exp(\mu + \sigma^2/2)\)` - If `\(U \sim \mathcal{P}(\lambda)\)` then `\(\mathbb{E}[U] = \lambda \quad \mathbb{E}[U^2] = \lambda (1 + \lambda) \quad \mathbb{E}[U^2] = \lambda (1 + 3\lambda + \lambda^2)\)` Each coordinate of `\(\mathbf{\theta}\)` can be expressed as a simple functions of the (first three) moments of `\(p_{\mathbf{\theta}}\)` and thus `\(p_{\mathbf{\theta}} = p_{\mathbf{\theta}'} \Rightarrow \mathbf{\theta} = \mathbf{\theta}'\)`. --- # ZI-PLN Inference Same routine... ### Variational approximation `\begin{equation*} p(\mathbf{Z}_i, \mathbf{W}_i \mathbf{Y}_i) \approx q_{\psi}(\mathbf{Z}_i, \mathbf{W}_i) \approx q_{\psi_1}(\mathbf{Z}_i) q_{\psi_2}(\mathbf{W}_i) \end{equation*}` with `\begin{equation*} q_{\psi_1}(\mathbf{Z}_i) = \mathcal{N}(\mathbf{Z}_i; \mathbf{m}_{i}, \mathrm{diag}(\mathbf{s}_{i} \circ \mathbf{s}_{i})), \qquad q_{\psi_2}(\mathbf{W}_i) = \otimes_{j=1}^p \mathcal{B}(W_{ij}, \pi_{ij}) \end{equation*}` ### Variational lower bound Let `\(\theta = (\mathbf{B}, \mathbf{B}^0, \mathbf{\Sigma})\)` and `\(\psi= (\mathbf{M}, \mathbf{S}, \mathbf{\Pi})\)`, then `\begin{align*} J(\theta, \psi) & = \log p_\theta(\mathbf{Y}) - KL(p_\theta(. | \mathbf{Y}) \| q_\psi(.) ) \\ & = \mathbb{E}_{q_{\psi}} \log p_\theta(\mathbf{Z}, \mathbf{W}, \mathbf{Y}) - \mathbb{E}_{q_{\psi}} \log q_\psi(\mathbf{Z}, \mathbf{W}) \\ & = \mathbb{E}_{q_{\psi}} \log p_\theta (\mathbf{Y} | \mathbf{Z}, \mathbf{W}) + \mathbb{E}_{q_{\psi_1}} \log p_\theta (\mathbf{Z}) + \mathbb{E}_{q_{\psi_2}} \log p_\theta (\mathbf{W}) \\ & \qquad - \mathbb{E}_{q_{\psi_1}} \log q_{\psi_{1}} (\mathbf{Z}) - \mathbb{E}_{q_{\psi_2}} \log q_{\psi_2} (\mathbf{W}) \\ \end{align*}` **Property**: `\(J\)` is separately concave in `\(\theta\)`, `\(\psi_1\)` and `\(\psi_2\)`. --- # Optimizaton ### A sparse criterion Recall that `\(\theta = (\mathbf{B}, \mathbf{B}^0, \mathbf{\Omega} = \mathbf{\Sigma}^{-1})\)`. Sparsity allows to control the number of parameters: `\begin{equation*} \arg\min_{\theta, \psi} J(\theta, \psi) + \lambda_1 \| \mathbb{B} \|_1 + \lambda_2 \| \mathbb{\Omega} \|_1 \color{#ddd}{ \left( + \lambda_1 \| \mathbb{B}^0 \|_1 \right)} \end{equation*}` ### Alternate optimization - (Stochastic) Gradient-descent on `\(\mathbf{B}^0, \mathbf{M}, \mathbf{S}\)` - Closed-form for posterior probabilities `\(\mathbf{\Pi}\)` - Inverse covariance `\(\mathbf{\Omega}\)` - if `\(\lambda_2=0\)`, `\(\hat{\mathbf{\Sigma}} = n^{-1} \left[ (\mathbf{M} - \mathbf{XB})^\top(\mathbf{M} - \mathbf{XB}) + \bar{\mathbf{S}}^2 \right]\)` - if `\(\lambda_2 > 0\)`, `\(\ell_1\)` penalized MLE ( `\(\rightsquigarrow\)` Graphical-Lasso with `\(\hat{\mathbf{\Sigma}}\)` as input) - PLN regression coefficient `\(\mathbf{B}\)` - if `\(\lambda_1=0\)`, `\(\hat{\mathbf{B}} = [\mathbf{X}^\top \mathbf{X}]^{-1} \mathbf{X}^\top \mathbf{M}\)` - if `\(\lambda_1 > 0\)`, vectorize and solve a `\(\ell_1\)` penalized least-squared problem **Initialize** `\(B^0\)` with logistic regression on `\(\delta_0(\mathbf{Y})\)`, `\(\mathbf{B}\)` with Poisson regression --- # A quick example in genomics (1) ### scRNA data set The dataset `scRNA` contains the counts of the 500 most varying transcripts in the mixtures of 5 cell lines in human liver (obtained with standard 10x scRNAseq Chromium protocol). We subsample 500 random cells and the keep the 200 most varying genes ```r library(PLNmodels); library(ZIPLN) data(scRNA); set.seed(1234) scRNA <- scRNA[sample.int(nrow(scRNA), 500), ] scRNA$counts <- scRNA$counts[, 1:200] scRNA$counts %>% as_tibble() %>% rmarkdown::paged_table() ``` <div data-pagedtable="false"> <script data-pagedtable-source type="application/json"> 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</script> </div> --- # A quick example in genomics (2) ## Model fits We adjust the standard PLN model and the ZI-PLN model with some sparsity on the precision matrix: ```r system.time(myPLN <- PLN(counts ~ 1 + offset(log(total_counts)), data = scRNA, control = list(trace = 0))) ``` ``` ## user system elapsed ## 126.280 0.098 32.049 ``` ```r system.time(myZIPLN <- ZIPLN(counts ~ 1 + offset(log(total_counts)), rho = .1, data = scRNA, control = list(trace = 0))) ``` ``` ## user system elapsed ## 86.317 0.062 13.522 ``` --- # A quick example in genomics (3)  ZI-PLN seems to be less variant for predicting small counts --- # A quick example in genomics (4) ```r prcomp(myZIPLN$latent) %>% factoextra::fviz_pca_ind(col.ind = scRNA$cell_line) ``` <!-- --> --- # Conclusion ## Summary - PLN = generic model for multivariate count data analysis - Flexible modeling of the covariance structure, allows for covariates - Efficient V-EM algorithm - Variational estimator is asymptotically normal (and hopefully unbiased) with computable covariance matrix. - ZI-PLN reduces (some) problems induced by high sparsity in the data ## Work in progress - Caracterisation of Variational Estimator - Direct likelihood optim (Stochastic Gradient + Important Sampling) - Optimisation guarantee for coupling adpative SGD + variance reduction - Connection/Comparison with VAE with e.g Poisson neg log-likelihood as loss ## Advertisement [https://computo.sfds.asso.fr](https://computo.sfds.asso.fr), a journal promoting reproducible research in ML and stat. --- # References <small> Aitchison, J. and C. Ho (1989). "The multivariate Poisson-log normal distribution". In: _Biometrika_ 76.4, pp. 643-653. Chiquet, J., M. Mariadassou, and S. Robin (2018). "Variational inference for probabilistic Poisson PCA". In: _The Annals of Applied Statistics_ 12, pp. 2674-2698. URL: [http://dx.doi.org/10.1214/18-AOAS1177](http://dx.doi.org/10.1214/18-AOAS1177). Chiquet, J., M. Mariadassou, and S. Robin (2019). "Variational inference for sparse network reconstruction from count data". In: _Proceedings of the 19th International Conference on Machine Learning (ICML 2019)_. Chiquet, J., M. Mariadassou, and S. Robin (2021). "The Poisson-Lognormal Model as a Versatile Framework for the Joint Analysis of Species Abundances". In: _Frontiers in Ecology and Evolution_ 9. DOI: [10.3389/fevo.2021.588292](https://doi.org/10.3389%2Ffevo.2021.588292). Facon, B., A. Hafsi, M. C. de la Masselière, et al. (2021). 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